Kvadratrötter matte regler

I detta här avsnittet ska oss bekanta oss med begreppet kvadratrot, liksom är användbart när oss löser bekymmer som innehåller potenser.

I nästa avsnitt kommer vi för att lära oss några regler som hjälper oss då vi bör räkna tillsammans kvadratrötter.

Vad existerar en kvadratrot?

Om vi tänker på talet 16, sålunda vet oss från vad vi lärt oss angående potenser för att vi kunna skriva talet 16 vid följande sätt:

$$ 16=4\cdot4={4}^{2}$$

Talet 4² är en potens med basen 4 samt exponenten 2.

En kvadratrot ur ett anförande x existerar ett icke-negativt tal vilket upphöjt mot 2 existerar lika tillsammans x.

Till modell är 4 kvadratroten ur 16, eftersom 4² = Man brukar yttra att "kvadratroten ur 16 är lika med 4", eller "roten ur 16 är lika med 4".

Det finns en särskilt matematiskt tecken såsom används till kvadratrötter. önskar vi nedteckna att kvadratroten ur 16 är lika med 4, så skriver vi sålunda här:

$$ \sqrt{16}=4$$

Andra exempel vid kvadratrötter ur tal, liksom är heltal är

$$ \sqrt{1}=1$$

$$\sqrt{4}=2 $$

$$\sqrt{9}=3$$

$$\sqrt{25}=5 $$

$$\sqrt{36}=6$$

I dessa modell blev kvadratroten ur talen heltal. M

•

Räkna med kvadratrötter

I det förra avsnittet började vi bekanta oss medkvadratrötter. Vi kom bland annat fram till att kvadratroten ur vissa tal är heltal, medan vi får lov att ange andra kvadratrötter somnärmevärden.

I det här avsnittet ska vi lära oss några räkneregler som gör det enklare att räkna med kvadratrötter.

Multiplikation av kvadratrötter

Vi ska nu undersöka vilka räkneregler som gäller vid multiplikation av kvadratrötter. Därför börjar vi med ett enkelt exempel:

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}$$

Från det inledande avsnittet om kvadratrötter vet vi att vi kan förenkla denna produkt så här:

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=4\cdot2=8$$

Men vi vet också att det finns ett annat tal, vars kvadratrot är lika med 8, nämligen

$$ \sqrt{64}=8$$

Av det här kan vi dra slutsatsen att denna likhet gäller:

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{64}$$

Talet 64 kan vi också skriva som produkten av 16 och 4, så

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{16\cdot4}=\sqrt{64}$$

Att vi kan skriva likheten på det här sättet är inte någon slump. I själva verket är det här en allmän räkneregel som gäller vid multiplikation av kvadratrötter:

$$ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$$

där

•

Kvadratrötter och andra rötter

Vi har i ett tidigare avsnitt lärt oss vad potenser är och hur man räknar med dem. I det här avsnittet ska vi lära oss om kvadratrötter och andra rötter, och se hur de förhåller sig till potenser.

Kvadratrötter

Kvadratroten ur ett tal \(a\) är ett tal som upphöjt till \(2\) är lika med \(a\). Talet \(a\) är större eller lika med \(0\). \(\sqrt{a}\) är en kvadratrot ur \(a\) om:

$$\left ( \sqrt{a} \right)^2= \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

där \(a \geq 0 \) och \( \sqrt{a} \geq 0 \).

Ofta kallas kvadratroten ur \(a\) bara för "roten ur \(a\)".

---

Vi tittar på ett exempel:

$$3^2=9$$

Det vänstra ledet är en potens med basen \(3\) och exponenten \(2\). Det högra ledet är produkten.

Att beräkna kvadratroten ur talet \(9\) innebär alltså att vi söker ett tal vars kvadrat är \(9\), det vill säga talet vi söker multiplicerat med sig själv ska bli \(9\).

Vi tecknar detta som

$$\sqrt{9}=3$$

Kvadratrotstecknet utläses “kvadratroten ur” eller bara “roten ur”. Det är samma sak som att säga att någonting är upphöjt till \(\frac{1}{2}\). Detta kan vi visa med hjälp av potenslagarna.

Vi sa tidigare att

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$