Kedjeregeln exempel
•
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
KÖP PREMIUM
Så funkar det för:
Elever/StudenterLärareFöräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@
Vissa händelseförlopp beskriver man bäst med en matematisk modell som är en sammanslagning av flera olika funktioner. Dessa funktioner kallar man för sammansatta funktioner och de består av så kallade inre och yttre funktioner. När man deriverar dessa använder man kedjeregeln.
För att tydligare se sambanden mellan olika variabler och förändringshastigheter i de sammansatta funktionerna kan man med fördel använda följande skrivsätt.
Om ballongens radie ökar med tiden, så kommer så klart även ballongens volym att öka. Vi tittar här nedan i ett exempel på hur vi använder sambandet mellan förändringen av volymen och radien beroende av hur lång tid vi fyller ballongen med luft.
Men först repeterar vi vad vi gått igenom tidigare.
Förändringshastigheter och derivata
Olika sätt att beskriva derivata
Tillämpning av Kedjeregeln
Lär dig med exempel
Ett exempel till
Nästa lektion
•
En matematisk modell kan innehålla flera olika variabler. Därför är en bra råd för för att möjliggöra enstaka lösning från problemet för att försöka nedteckna om uttrycket med färre, gärna enstaka, variabel.
Exempel 2
Från en kegelformad behållare, tillsammans med lika massiv höjd såsom radie, faller i små droppar en vätska ut tillsammans med hastigheten $4$4 cm$^3$3/min.
Bestäm hur snabbt höjden vid vätskan förändras när den är $5$5 cm.
Lösning
Vi söker hur snabbt höjden förändras, detta vill säga $\frac{dh}{dt}$. Eftersom för att den minskar är värdet negativt.
Vi använder kedjereglen.
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}$=·
Förändringshastigheten till vätskans volym i konen med avseende på tiden är
$\frac{dV}{dt}=$=$-4$−4
eftersom för att volymen minskar.
Eftersom att volymen för en kon ges av $V=$=$\frac{\pi r^2\cdot h}{3}$π2·3 och radien och höjden i denna kon plats lika stora, får oss att $V=$=$\frac{\pi h^2\cdot h}{3}=\frac{\pi h^3}{3}$π2·3=π33. detta leder till att $\frac{dV}{dh}$ då $h=5$=5 är
$\frac{dV}{dh}=$=$\frac{3\cdot\pi\cdot5^2}{3}=$3·π·523=$25\pi$25π
Vidare bestämmer oss förändringshastigheten vid höjden genom att oss sätter in ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.
$-4=25\pi\cdot$−4=25π·$\frac
•
Derivatan av sammansatta funktioner
I Matte 3-kursen lärde vi oss en hel del om derivata och hur man med hjälp av derivatans definition kan formulera ett antal användbara deriveringsregler.
I det här och följande avsnitt kommer vi att lära oss mer om deriveringsregler som gäller för ett antal vanligt förekommande typer av funktioner. I det här avsnittet undersöker vi derivatan av sammansatta funktioner. I kommande avsnitt hittar vi några viktiga funktioners derivata och lär oss sedan beräkna derivatan av produkter och derivatan av kvoter. Slutligen kommer vi även att bekanta oss med differentialekvationer, ett viktigt område som återkommer mycket i högre kurser i ämnet matematik.
Sammansatta funktioner
Om vi har en funktion som till exempel
$$f(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}$$
så kan vi beräkna dess derivata om vi först använder den andra kvadreringsregeln för att skriva om funktionen som
$$f(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}={16x}^{2}x+9$$
Skriven på denna form har funktionen en känd derivata enligt deriveringsreglerna som gäller för polynomfunktioner:
$$f\,'(x)=32x$$
I det här fallet var det enkelt att skriva om funktionsuttrycket och sedan derivera funktionen, men om fun